高校物理で「波」は苦手とする人が多い単元です。

特に、正弦波の式・・・

・・・なかなかすぐには、なじめませんよね。

「こんなのどうやって覚えればいいんだ」…と思っている人も多いかもしれません。

が・・・

覚える必要は、ありません。

・・・こういうと誤解があるかもしれませんね。

厳しい言い方をすると・・・

「これを覚えて、あてはめれば済むような問題は、ほとんどない」…ということです。

自分でこの式を導いて、その「意味」が理解できていないと、物理のテストでの得点力はほとんど望めないということです。（みなさん、それは実感がありますよね。）

市販の物理の問題集でも、この式を導くタイプの問題や、導く際に使った考え方を活かす問題は必ず掲載されています。物理では問題を通して理解を深めていくのが有効なので、そういう問題をていねいにこなしていけばいいです。

でも、それが難しいという人がけっこういるのも、無理のないことともいえます。

そこで、今回の解説記事では・・・

・・・について、みていきます。

本来、「等速円運動」からみていくべきなのですが、焦点をしぼるためここでは簡単な確認にとどめ、「正弦波の式」に集中します。

要点だけ確認していきます。

ここで、「正弦波の発生（媒質の１点が単振動）」からみていくのが普通ですが、・・・やめておきましょう。

ここでは、すでに発生し進行している波を元に考えてみます。実際、その方が考えやすいです。

下図の波は、赤矢印の方向に進んでいて、図はある時間における波の変位のようすであるとします。

新体操のリボンを真横からみていると考えていいですよ。

波のグラフで気をつけないといけないことは、それが・・・

y - t  グラフ（ある位置での、時間〔 t 〕と変位〔 y 〕の関係を表したグラフ）か、

y - x グラフ（ある時間での、位置〔 x 〕と変位〔 y 〕の関係を表したグラフ）かを、

しっかり意識して区別することです。

上図は、新体操のリボンを横からみたもの…としましたので、「y - x グラフ」にあたります。

平面（２次元）の関係（関数）だけでなく、それにもう１本、軸が加わることになります。

難しいのは無理はないですよね。（とはいえ、そんなに高度なことが求められているというわけではなく、必要に応じて、平面を切り出して、それを積み重ねていけば大丈夫です。）

では、上図を元にした「y - t  グラフ」を考えてみましょう。

大切なのは、自分で自主的に「基準」を決めることです。

波を横からみて上図の形になっている時間を、「t＝０」としましょう。

「x＝０」をどこにするか、上図をみてみなさんも少し考えてみましょう。

「コツ」です。

一般の教科書・参考書など、すべてこうしていますが、

こうしなければいけないというものではなく、こうするとわかりやすい…ということです。

この形で、y ＝sin x の形になるところをx ＝０としてもいいのですが、

ｘ＝０の位置における時間 t による変化が、わかりやすいところにしましょう。

図の波は右向きに進行しています。

この図の時点で変位が０で、これから大きくなっていくところを選びましょう。

この位置でいいですね。ここを、ｘ＝０としましょう。

波がこの図の形になった時刻を t＝０とし、ｘ＝０の位置における「y - t  グラフ」は次図のようになります。

図のように振幅をA〔m〕、周期をT〔s〕とします。

この形なので、「ｙ＝Ａsin〇」というsinを使った式で表されます。

（そうなるように x＝０の位置を決めました。）

周期というのは1回振動するのにかかる時間（〔秒〕単位）で、ここでは変位が0の位置から上がって下がってまた上がって再び０になるまでの時間と考えるといいでしょう。

波を表す式の角度を表す部分を位相といいます。

「ｙ＝Ａsin〇」の「○」の部分のことです。

三角比なので、０から２π（円運動で1回転）で、1周期です。

この位相の部分を、簡単に起こせる（表せる）ようになることが今回の解説記事の目的です。

単振動からでなく、この形から解釈できるようにする…と言ってもいいでしょう。

ここで、『算数』で勉強したことを使います。 

（なお、この「2π／ T」は、等速円運動でいうところの角速度 ω〔rad/s〕にあたります。）

〔rad / s〕単位の数値に〔s〕（秒）をかけることによって、分母の〔s〕が払われ、〔rad〕単位（ラジアン単位）の数値に変換されていることが分かります。

以上より、ｘ＝0 の位置でのｔ秒後の位相（「sin〇」の「○」の部分）が決まり、

ｘ＝0 の位置の変位 y は、次の式で表されるとわかります。

次に、この式を元に一般に x の位置・・・x=0 以外の位置も含め、y を t と x で表した式・・・を考えていきます。

・・・と思いましたが、その前にもう１つ、この位相「（2π／Ｔ）×ｔ」の導き方を確認しておきます。

これも、算数の学習内容を使います。

よって、ｔ秒後の位相は（全体）にこの（割合）をかけ・・・

このように、算数で学んだ内容は大切ですよね。

（この前、小学生向けの速さの問題に関する解説記事を書いたのですが、ここで書いたことはその解説記事で書いた内容とほぼほぼ同じです。）

それでは、位置ｘでのｔ秒後の変位ｙについてみていきましょう。

波の進む速さを ｖ〔ｍ／ｓ〕とします。

イメージしやすいように、下図のようにｘ＝０から波長の半分分進んだ位置の変位を考えてみましょう。

この位置では、波が半分分進むとｘ＝0 と同じ変位になり、それからｘ＝0 と同じような変位の変化をすることになります。

位置ｘでは、位置ｘ＝０ における波が伝わってきてから、同じように振動を始める・・・と考えればいいですね。

・・・とすることで、位置ｘにおける変位の式が求められます。

これで、トップ画像の式が求められました。

（ｖ＝λ /Ｔ についての解釈は焦点がぼやけるのでここではやめておきます。各自考えてみましょう。）

なお、・・・

・・・は、基本公式と言われるだけあって、汎用性が高いです。使いこなせるようにしておきましょう。

v = λ/ T も、ここから導けます。

（別の場所でこれにも触れようと思いますが、とりあえず『算さば』のトップページに考え方のまとめがありますので、そちらもどうぞ。）

私が『算数』の大切さ（かけ算・わり算の意味の大切さ）に目覚めたのも「ｖ＝ｆλ」がきっかけでした。

y -x グラフからも、正弦波の式を求めることができます。

最初に扱った図で、ｘ＝０ と決めたところをかきだすと、次のような形になります。

この場合、ｙ＝０から、下がって上がってまたさがるので、

「ｙ＝－Asin○」・・・という形の式になります。

後は、各自考えてみましょう。

とりあえず「てびき」だけ示しておきますと・・・

①「位相」の部分は、（全体）×（割合）の考え方が、わかりやすいでしょう。

②ｔ秒後、波はｖｔ進むので、「ｘ」を「ｘ－ｖｔ」とします。

ここが、わかりにくいかもしれませんが、数学で勉強した「軌跡」の考えを使ってみましょう。

（ここのわかりやすい考え方も、いずれ紹介するつもりです。）

③「sin（－θ）＝－sinθ」の公式で、タイトル画の式の形にピッタリ近づけられます。

④波の基本公式「v＝ｆλ」を使って、自在に変形しましょう。

以上です。

ご意見・ご感想お待ちしております。

執筆：井出進学塾　井出真歩

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