数学 教材紹介   富士宮教材開発

重要分野 解説指導マニュアル「これから」

「高校数学 最初の壁 絶対値」

写真はイメージ(物理教材のものです)ですが、内容物(ファイルや資料の数など)はすべて同じです。


富士宮教材開発の教材はすべてそうなのですが、提供しているのは問題と答えではなく「指導法」、すなわち一流の先生ならマンツーマンの授業で、どのように生徒さんに説明するかを書き起こしたものです。

そのため一問あたりの解説量が、普通の教材のページ数だけでも3倍から5倍以上の解説量を持つ普通にはみることのない教材です。

 

教材で使われている全問題と、解説資料の最初の5ページをサンプルとしてご覧いただけるようにしておりますので、そちらで内容をお確かめください。

また、解説動画も下の方に紹介しております


数学これから 「高校数学 最初の壁 絶対値」

 

・A4用紙に60ページの圧倒的な解説量。

勉強しやすいように、8回に資料を分けておりますので(上の写真を参照してください)、計画的にとりくんでください。

・絶対値について完ぺきに理解できます。絶対値の考え方は他の単元にも出てくる重要な考え方です。

グラフとの関係をつかむとさらに理解がすすみ、簡単に解けるようになります。正確なグラフをつくる体験もしていただきたいので、問題に合わせたグラフ作成用のワークシートも用意しております。(ワークシートも下記ボタンから無料でご覧いただけます。) 

 

導入教材として、すべての方にまずはここに書いてある内容をしっかりとつかんでもらうため、今回は破格の料金設定となっております。(60ページもありますので、せめて最初だけでも意味をとらえやすいようにと解説動画にして公開しております。その分お安くなっているとお考え下さい。)

 

〔お届けするもの〕

・解説資料A4サイズ、全60ページ(8回分の講座に分け、クリアファイルに入れて提供します。)・問題用紙 1ページ・ワークシート 6ページ・質問シート 4枚(下に説明があります)/整理用 20pクリアファイル×2

¥5,990

¥3,990

  • 在庫あり
  • お届け日数:1~3日1

☆お知らせ

やはり動画の方がわかりやすい、という声を多くいただきました。

弊社の方針として、「本当に実力をつけるためには紙資料を自分でじっくり読んでもらいたい、」というのがあります。

しかし事実、解説動画の方が細かいニュアンスなども伝わりやすく「入り(はいり)」として活用してもらうことも悪いことではありません。

 

そこで・・・

全内容の解説を動画で撮りおろした教材も準備しました!

数学これから 「高校数学 最初の壁 絶対値」 解説動画セット

  〔お届けするもの〕

・解説資料A4サイズ、全60ページ(8回分の講座に分け、クリアファイルに入れて提供します。)・問題用紙 1ページ・ワークシート 6ページ・質問シート 4枚(下に説明があります)/整理用 20pクリアファイル×2

 

これにプラスして、解説動画をまとめたページのアドレスと、そのページを見るために必要なパスワードをお知らせします。

 

74本の解説動画で、合計時間3時間34分45秒の圧倒的なボリューム。

しかも、74本と細かく分けているので、必要なところだけ何度もみることができ便利です。

¥8,990

¥5,990

  • 在庫あり
  • お届け日数:1~3日1

※解説動画の最初の方は、このページの下の方からご覧いただけます。


各講座の内容

8回に分けた各講座の内容と、解説動画の本数と合計時間は以下の通りです。

本数や時間はバラバラですが、これはあくまで動画の再生時間であり、ご自分でも問題を解きながら進めてもらいますので、この分け方をめやすにしてもらってよいでしょう。

第1講座 絶対値の中にルートがあるときのはずし方。

絶対値の意味から確認します。簡単な計算問題の後、絶対値の中に無理数(根号〔ルート〕のついた数)があるときの、正負の判断法から絶対値のはずし方を確認します。

・8本の解説動画、計14分16秒。

第2講座 絶対値を含む方程式の考え方。

第1講座の確認問題、問1問2の答え合わせ。

その後、絶対値を含む方程式の考え方を勉強し、問3で確認します。

・10本の解説動画、計21分06秒。

この第2講座まで、内容を確認してもらうためサンプルとして公開しております。

第3講座 絶対値を含む不等式の考え方。

絶対値を含む不等式の考え方を勉強し、問4で確認します。

その後次のテーマに備え、「場合分け」の考え方だけでなく心がまえなども確認します。

・9本の解説動画、計15分49秒。

第4講座 絶対値の方程式・不等式〔発展〕。右辺も文字式の時。

右辺も文字式のときは場合分けが必要になってきます。例題でじっくりその解法を確認します。

・6本の解説動画、計17分59秒。

第5講座 絶対値のグラフによる解釈①

第4講座の内容を問5で確認。

その後、第2講座であつかった例題をグラフを使って解釈します。

・8本の解説動画、計21分49秒。

第6講座 絶対値のグラフによる解釈②

絶対値のグラフによる解釈を、自分でも試してみましょう。

問3、問4、問5、問6を、ワークシートにグラフで表してみます。

・16本の解説動画、計46分00秒。

第7講座 1つの式に絶対値が2つあるときの場合分けの方法。

1つの式に絶対値が2つあるときの解法(場合分けの方法)を勉強します。

意味さえとらえられていれば、解法の「型」を身に付けるのは簡単です。

グラフで確認もしてみます。

・6本の解説動画、計29分16秒

第8講座 絶対値の関連発展問題。連立不等式など。

第7講座の確認。さらには関連発展問題である、絶対値を含む連立不等式や実際の絶対値の利用法などを勉強します。

・11本の解説動画、計48分30秒。


特別特典 質問シート

解説マニュアルだけでは対応しきれない個別の質問にお答えします。

 

特典としてついている「質問シート」に解き方がわからない問題、あるいは学校の授業で分からなかったことや勉強の仕方など、なんでもこの「質問シート」に書き入れてお寄せください。

 

担当者がA4用紙1~2枚相当の内容、あるいは5~10分程度の動画を撮りおろして、質問にお答えします。

 

この教材で苦手分野を無くしていき、発展的で自分では解決しきれない問題はこの質問シートで解決する。

 

これこそ「塾に頼らない画期的勉強法」

より主体的にとりくむことになるので、そういう方こそ成功するのは必然です。


※質問紙シートは4枚付いています。

※高校生用質問シートは、「英語」「数学」「物理」「化学」「世界史」「日本史」に限らせていただきます。

特別特典2. 学習相談サービス

教材が届いた時から1か月(30日)の間、この単元に関するご質問等、お受けします。

簡単なものならメールで何度でも、必要に応じて動画解説なども送らせていただきます。

質問シートは、この期間が終わった後か別の教科にお使いください。

 

お届けする動画解説のサンプルです。


上の動画はユーチューブ上にアップしてあるものです。

これらとは別に、個別の質問に応じ動画を撮り下ろします。

そのため、質問シートにはなるべくくわしく何を聞きたいかわかるようにしてください。

質問内容について、こちらから問い合わせることもあります。

 

成績アップにもっとも有効なのは、自分がどこまでできて何ができていないかという現状分析です。

質問シートの作成そのものが、ものすごい良い勉強です。

(また、そこまではまだ無理という方は問題だけ写真に撮っておくってもらってもかまいません。)

※お支払方法は「代金引換」「銀行振り込み」「クレジットカード決済(Pay Pal)」からお選びいただけます。

動画は細かく分けてホームページにまとめているので、必要なところだけ何度も見ることができ、とても便利です。(8回中2回分、サンプルとしてご覧いただけます)。弊社の教材の中でも人気の形態のものです。

(一般に公開していないページに、パスワード保護をかけています。お届けするのは上記の印刷物のほかに、そのホームページアドレスとパスワードになります。)



問題と教材のサンプルはこちらから無料でダウンロードできます。

ダウンロード
「高校数学 最初の壁 絶対値」取り扱い問題
たったこれだけの量の問題に、60ページの解説です。
ご期待ください。
高校数学最初の壁問題.pdf
PDFファイル 566.5 KB
ダウンロード
「絶対値」ワークシート
教材には印刷したものをお付けします。
高校数学最初の壁ワークシート.pdf
PDFファイル 667.8 KB

ダウンロード
解説資料サンプル
実際の教材の最初の5ページです。
高校数学最初の壁 サンプル.pdf
PDFファイル 869.0 KB

質問シートは単独でも購入できます。

質問シート(高校生用)

ご近所の塾の月謝などと比較してください。

同じ費用で、より多くの知識と技術を身につけられます。

¥1,480

  • 在庫あり
  • お届け日数:1~3日1

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お得な6枚セット。

5枚分の料金で、1枚お得です。

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  • 在庫あり
  • お届け日数:1~3日1


解説動画 サンプル

わかりにくいとこなどあれば、ご指摘いただけると本当にありがたいです。

順次、修正していきます。

(※画像右下のボタンで、全画面表示できます。

また、もう一度見る場合は左下のもう一度見るボタンを押してください。パソコンでご覧の方は、カーソルキーの「←」ボタンで15秒巻き戻し、「→」ボタンで15秒早送りができます。)


1 導入

絶対値という言葉自体は、中学の数学でも出てきました。高校では絶対値を表す記号が出てきて、数式の中でも扱います。(2分54秒)

2 2ページ例題

計算問題です。

1つ1つ意味をとらえながらすすめていきましょう。

(2分32秒)


3 3ページ例題①

絶対値の中に根号を含む計算です。7回かけてじっくり進めます。(2分12秒)

4 3ページ例題②

絶対値の中のおおよその大きさを確認しておきましょう。 (1分00秒)



続きは特設ページでご覧ください。

実際に提供させていただくページの一部です(8回中2回分)。



ダイジェストもどうぞ

ダイジェストといっても、動画をインポートする際、パソコンが自動でつくってくれるものなので、編集にこちらの意図は入っていません。

また、実際の解説動画には音楽は入っていません。画面も普通です。

① 2分16秒

② 0分49秒




参考に解説資料の最初の部分を下に紹介します。

コピペしただけなので、数式など入りきっておらず、あまり参考にならないでしょうが、ボリューム感などをご確認ください。

実際の解説資料の最初の部分は、上の方でダウンロードしてご確認いただけます。

下の資料は文字だけですが、実際の解説資料はみやすいレイアウトで図もふんだんに使っております。


 

〔絶対値〕

絶対値(ぜったいち)という言葉自体は、中学に入って数学が始まったときに、

正負の数の加法(たし算)を考えるためにでてきました。

かなり久しぶりなので、言葉の意味からおさらいしておきましょう。

絶対値とは…

「数直線上で原点からの距離」 のことです。

例えば「3」の絶対値は

原点(0)から3までは、

3だけはなれているので

3の絶対値は 3 です。

「-3」の絶対値は

こちらも原点(0)から-3までは

3だけはなれているので、

-3の絶対値は 3 です。

逆に、例えば「絶対値が4である数は何か?」と考えた場合、答は数直線上の原点から

4だけはなれた数のことなので

4と-4 が答えになります。

絶対値を表す記号は〝│ │″ です。

3の絶対値は│3│、-3の絶対値は│-3│などと表します。

数式としてもあつかうことができ、

│3│=3、│-3│=3 などと表せます。

〝│3│=3″は3の絶対値が3であること、

〝│-3│=3″は-3の絶対値が3であることを表しています。

とりあえずは、絶対値の中が正の数のときはそのまま絶対値が外せ、絶対値の中が負の数のときは、マイナス(-)の符号を外すと考えていいでしょう。

計算式の中にも出てきます。例題をみてみましょう。

(1) │5-3│ (2) │3-5│ (3) │5-3│-│3-5│

(1) 絶対値の中の5-3を先に計算します。

│2│となり、絶対値の記号(││)は

そのまま外せ、2になります。

(2) 計算をすすめると│-2│となります。

改めて確認しますと、│-2│は数直線上で-2が原点(0)からどれだけ離れて

いるか(0から-2までの距離)を意味します。

よって│-2│=2です。

(3) 「絶対値の中の計算」→「絶対値を外す」→ ……

のように、1行に1手ずつ計算をすすめましょう。

│5-3│-│3-5│=│2│ - │-2│

= 2 - 2

= 0

※これらの問題は、│5-3│と│3-5│が同じものであること、

すなわち、 , を実数として(実数とはふつうの数のことです)、

│ │と│ │は同じものであることを示しています。(│ │=│ │)

これについては、必要なときにまた改めて解説します。

次に絶対値の中に無理数(√で表す数など)がある場合を考えてみましょう。

│ │-│ │ を計算せよ。

 は と の間にあるので  、

1と2の間にある数なのでその整数部分は1、すなわち  .×××……という数とわかります。(無理数の大きさはこのように考えるものですが、

近似値  ≒1.414 くらいは覚えておきましょう)

  は1より大きいので「 」は正の数です。

よって〝│√2-1│=√2-1″ とそのまま絶対値を外してかまいません。

問題は│ │ です。

  は2より小さいので、  は負の数です。( )

ですから、そのまま絶対値をはずすわけにはいけません。

絶対値の定義にもどって、どうしたらよいか考えてみましょう。

 ≒1.41…とすると  ≒-0.59 くらいです。

よって数直線上で   は

です。

絶対値とは、数直線上で原点(0)からの距離のことでした。

ですから

この部分の長さが、

 の絶対値(│ │)になります。

この長さがどうなっているか?

(長さなので必ず正の数です)

一般的な場合から考えてみましょう。

「│ │」と与えられているとします。

 は1、2、3、…のような正の数かもしれませんし、

-1、-2、-3、…のような負の数かもしれません。

 が正の数または0ならば、絶対値はそのまま外せ

│ │=  とすることができます。

 が負の数の場合、│ │=  のように絶対値をそのままはずしてはいけません。

絶対値とはその数が原点からどれだけ離れているかを示すので、正の数であるはずなのに、 は負の数だからです。

ではどうしたらいいでしょうか?

│-2│=2、│-3.5│=3.5 など簡単な数値である場合、マイナス(-)の符号をとるだけで絶対値をはずせました。

では、 が負の数のときの│ │や、例題の│ │など、絶対値の中の値が負の数とわかっているとき、絶対値の記号をどうはずせばよいか考えていきましょう。

簡単な例をもう一度みてみましょう。

│-2│=2、│-3.5│=3.5 において、

〝-2 → 2″、〝-3.5 → 3.5″と負の数がその絶対値をかえず正の数になることで、絶対値の記号が外れていることがわかります。

↑-3.5と3.5の絶対値は同じです。

ここで絶対値とは何か? 次のように考えてみましょう。

装置ととらえるのがいいでしょうね。

絶対値とは、「正の数」が入ればそのまま「正の数」、

「負の数」が入れば「正の数」に変えて出す装置です。

← 絶対値とはこのような装置で…

例えば、…

3.5のような正の数が入力されれば、 -3.5のような負の数が入力されれば、

そのまま正の数3.5を出力し… それを正の数3.5に変換して

出力する。

そのような装置です。

この装置の中では…

①「入力された数値が正の数か負の数かを判断」

②「①で判断し、負の数だった場合、正の数に変換して出力。

正の数だった場合そのまま出力。」

…という作業が行われます。

この負の数を正の数にするには、絶対値を変えずマイナスがプラスになるようにすれば

よいので…

「-1」をかければよいです。(ここまでもったいぶることもありませんでした。)

-3.5の絶対値(│-3.5│)が3.5であるというのも、

│-3.5│=-(-3.5) 

= 3.5

それでは が負の数のときの〝 ″や、〝 ″を、さきほどの装置に入力してみましょう。

どちらも負の数であることは、わかっています。

どちらも、前にマイナスの符号(-)がついてでてきました。

 は-2や-3.5などの負の数ですから、それにマイナスがつくと

-(-◌) -(-◌) のように正の数です。

〝-( )″もかっこをひらきますと〝 ″

わかりやすいように並べかえると〝 ″

  は1.14…くらいですから、これは正の数だとわかります。

なお、このマイナスの符号は、距離を出すので

大きい方(0)から小さい方( )を引けばよく

〝0-( )″からきていると考えてもよいです。

いずれにせよ、絶対値の中が負の数であるとき、絶対値の記号をはずすためには、

その前にマイナス(-)の符号を付ければよいことがわかります。

先ほどの問題にもどりましょう。 │ │-│ │ という問題でした。

高校数学なので答えだけでなくその過程、すなわちこの問題ですとどのように考えて

絶対値をはずしたか?も解答に書かなくてはいけません。

以下に解答例を示します。

  ,  より

与式 = ( )-( )

=  

=  

では、問1をどうぞ。問2もつづいてやってみましょう。

必ず自分で解いてみてから、次のページの解説をみて答え合わせをして下さい。

解答

問1 (1) │-5│+│3│-│-2│

= 5 + 3 - 2

= 6

(2) 絶対値の中は計算できるので、先に計算します。

│5-7│-│3-1│=│-2│-│2│

= 2-2

= 0

(3) 〝π″は円周率のことです。3.14…という値です。

絶対値をはずす前に、絶対値の中が正か負かのことわりを入れる必要があります。

-4+π<0,π-3>0より

与式 = -(-4+π)+(π-3)

= 4-π+π-3

= 1

(4)  . は と  の間にあるので( < < )、

 =2.××× という値になります。

よって「 」は負の数になります( は3より小さいので)、

このように根号のついた数は、その整数部分( でいうと2)をすぐに出せるようにしておかなくてはいけません。

 ,   より

与式 = -( ) - ( )

=  

=   

問2.

与えらえた の値を代入し、計算を進めます。

「 ~」と与えられているので「与式=~」と書く必要はなく、

「 ~」と書けばいいです。

 

(1)  =│-1-2│+│-1-3│

=│-3│+│-4│

=│-7│

= 7

 

(2)  =│ │+│ │

=│ │+│ │

=│ │+│ │

=  

=   = 1

 

(3)   より ×××

 =│ │+│ │

  ,   より

 = -( )-( )

=   

=   

(4)   ,  ××× でしたよね。

 = │ │+│ │

 >0 ,  <0 より

 = ( )- ( )

=  - = 1

(5)   より ××× です。

 = │ │+│ │

= │ │+│ │

 <0 ,  <0 より

 = -( )-( )

=   =  

〔絶対値を含む方程式・不等式〕

(1) │ │=4 (2) │ │=3

(3) │ │>4 (4) │ │≦6

数学で大切なことは、意味です。

その意味がわからずに、やみくもに公式や解法を覚えても何のたしにもなりません。

「絶対値」のもともとの意味を思い出しましょう。

「数直線上での原点からの距離」

のことでした。

意味を確認すれば答がみえてきます。

(1) 「│ │=4」…この式の意味を確認しましょう。

│ │は「 の絶対値」を意味しています。それが4です。

「 の絶対値が4」ということは、

「 は数直線上で原点から4だけ離れた値」

…という意味です。

4と-4だとわかりますよね。

これが答えです。

まとめて±4と表してよいです。

解答も簡単で │ │=4

  = ±4 だけでいいです。

(2) │ │=3

( )をこれで1かたまりで1つの値ととらえることが大切です。

  とする など、大文字のAやMとおいて考えることをすすめる参考書などもありますが、この1かたまりで考える、というのができませんと、後々たいへんになってきますので、ここでも大文字におかないでがんばりましょう。

どうしてもみにくければ〝│ │=3″のように、 を○で囲みましょう。

○の中の や2は気にせず、○そのものがどのような数なのかを考えます。

〝│○│=3″

○は絶対値が3なので、3か-3とわかります。

よって ○=±3… ○の中の を復活させましょう。

  = ±3

  = -2 ±3

  = 1,-5

それでは先に方程式の方を確認しましょう。

問3を解いてみて下さい。

難しい問題も含まれていますが、必ず自分なりに解いてみてから答え合わせをするようにしましょう。

解答 問3

(1) │ │= 3

  = ±3

  = -1±3

  = 2,-4

  = 1,-2

 

(2) │ │= 9

  = ±9

  = 6±9

  = 15,-3

  = 5,-1

 

この問題ではそこまですることないですが…

絶対値の特徴から、

(  )と同じように3を前にくくり出して

〝│ │= 3│ │″

…のように変形することもできます。 

これを利用すると、与式より

3│ │=9 …と、両辺を3でわってから計算をすすめることができます。

〝│ │= 3│ │″の証明は省略しますが、

絶対値というのは必ず正の値であるため、正の数をくくり出しても問題ないことは納得いただけるでしょう。

(3) とりあえず、これまでと同じ様に解いてみましょう。

│ │= 4

  = ±4

  = -2 ±4

  = 2,-6

  = -2,6

これで特に難しいということもないのですが、絶対値の性質に慣れるためにも、

もっとスマートな解法を考えてみましょう。

例えば、 │3.5│=│-3.5│です。

絶対値の性質から一般に│ │=│ │と言えます。

絶対値の中に(-1)をかけても、正と負が逆になるだけなので、

その大きさは変わりません。

│ │とその中の式に(-1)をかけ各項の符号を反対にした│ │は、

まったく同じものです。

それを利用して解いてみましょう。

│ │= 4

│ │= 4

  = ±4

  = 2±4

  = 6,-2 これは非常に大切な考え方ですので、

よく理解しておきましょう。

〈例題〉の不等式にもどりましょう。

(3) │ │>4 (4) │ │≦6 という問題でした。

くり返しますが、意味をとることが大切です。

(3)〝│ │>4″これがいったい何を意味しているのか?

「 の絶対値が4より大きい。」 ということです。

絶対値とは、数直線上で原点からの距離でした。

それが4より大きいということは、 の値は…

…ということです。